Problemes de Fermi

Tanquem el segon curs del grup de treball amb una sessió dedicada als problemes de Fermi de la mà de Lluís Albarracín, investigador a la Universitat Autònoma de Barcelona.

Els problemes de Fermi són un tipus de problemes oberts, relacionats amb la modelització matemàtica i l’estimació. En aquests problemes cal donar una estimació d’una quantitat que no es pot mesurar directament, a partir de trencar el problema en sub-problemes, resoldre’ls i reconstruir la solució amb càlculs elementals. A l’aula, els problemes de Fermi permeten treballar estratègies de resolució de problemes i models generats pels alumnes. Reben el seu nom del físic italià Enrico Fermi, que els presentava sovint als seus estudiants i a partir de qui es van popularitzar.

L’exemple clàssic és el de «Quants afinadors de piano hi ha a Chicago?». A la sessió, però, vam començar a partir del problema:

Quant val el naming de casa meva?

La gràcia d’aquest tipus de problema és que no se’n pot buscar la solució, perquè mai s’ha calculat abans. Quina és l’estratègia de resolució que podríem seguir? En Lluís proposa la següent:

  • Buscant a Internet, podem trobar que es van pagar 50 milions d’euros pel naming del Metropolitano de l’Atlètic de Madrid.
  • Uns 1600 milions de persones veuen la Lliga en un any.
  • Podem estimar que això crea un impacte per setmana.
  • Cada impacte val, doncs, 0,00012€.
  • Parlo amb unes 600 persones cada any, amb uns 10 impactes per persona (vegades que menciono casa meva en un any).
  • El naming de casa meva valdria 0,72€/any.

Altres exemples de problemes de Fermi podrien ser:

  • Quants avions hi ha sobrevolant Europa en un moment determinat?
  • Quants vaixells (o contenidors) es mouen cada dia entre la Xina i Europa?
  • Quants paquets es mouen al dia en un magatzem d’Amazon?
  • Quantes persones han assistit a una manifestació?
  • Quanta gent cap al pati per fer un concert?
  • Quants missatges s’envien a Catalunya cada dia?
  • Quantes gotes calen per omplir una galleda?
  • Quants gots són necessaris per omplir una piscina?
  • Quantes monedes d’euro caben en una caixa forta d’un metre cúbic?

Per resoldre problemes de Fermi, els alumnes han de desenvolupar un model matemàtic: un sistema conceptual que mira d’explicar un altre sistema. Això inclou conceptes per descriure o explicar una situació, i procediments per generar construccions, manipulacions o prediccions. Els alumnes modelitzen a través de diverses accions: entendre la tasca, simplificar, estructura, matematitzar…

I què passa realment a l’aula, quan s’hi porta un problema de Fermi? Els alumnes proposent diversos procediments de resolució:

  • El «No sé / No contesto».
  • Recomptes exaustius, sovint inviables: «Jo comptaria tots els grans de sorra».
  • Utilitzar una font externa: «Truco a la policia i ho pregunto», «Ho pregunto a la directora».
  • Ús de quadrícules o similar (en dues o tres dimensions): per exemple es compta quantes persones es poden col·locar a l’amplada i la llargada d’un rectangle i així s’estima quantes persones hi ha caben dins.
  • Iteració d’una unitat de referència.
  • Ús de la densitat i proporcionalitat.

Pel que fa a diferències entre primària i secundària, s’observa que sol canviar la complexitat dels conceptes matemàtics involucrats, però no sembla en canvi que els procediments d’estimació siguin gaire més elaborats. Això podria fer pensar que es tendeix a no treballar i desenvolupar aquestes estratègies de resolució.

Finalment, en Lluís ens mostra la gestió d’una seqüència per treballar problemes de Fermi en tres sessions. En la primera sessió, els alumnes treballen individualment en una proposta per resoldre un problema plantejat, seguit d’una discussió en grup reduït de 3 o 4 alumnes, l’elaboració d’una proposta del grup i la resolució conjunta del problema. En la primera meitat de la segona sessió es fa una posada en comú amb tot el grup-classe, seguida d’una resolució dels 4 o 5 problemes restants entre la segona meitat de la segona sessió i la tercera.

També ens mostra ràpidament una plantilla per dissenyar i guiar l’activitat a l’aula i anticipar-nos al treball dels alumnes, que explicita els subproblemes a resoldre a partir de quatre tipus d’activitats matemàtiques:

  • Guesstimation
  • Experimentation
  • Looking for data
  • Statistical data collection

Tanquem la sessió amb la conclusió que els problemes de Fermi són bons per desenvolupar estratègies de resolució de problemes, però potser no són tan útils per construir conceptes matemàtics nous, ja que els alumnes tendeixen a utilitzar conceptes que tenen ja consolidats per fer les seves estimacions. En Lluís ens llança també una pregunta final: «Què necessitem per posar en marxa això a les nostres aules?». Recollim la proposta i ens animem a discutir-ho i dissenyar-ho durant el proper curs. Bon estiu!